Teorema de Bolzano-Weierstrass
- Teorema de Bolzano-Weierstrass
- Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo (z) y un mínimo (y) absolutos en el intervalo [a,b]. Es decir:
Siendo «x» cualquier valor de la variable perteneciente al dominio de la función.
Demostracion: Primero voy a obtener que el conjunto Im(f) es acotado. La prueba es por el absurdo, supongamos que no es acotada, esto implica que existe una subsucesion xn talque f(xn) tiende a infinito. Pero por estar la sucesion xn acotada (pues esta en I=[a,b]), entonces xn tiende a un valor x que pertenece al I (esto es porque es cerrado). Por lo cual por continuidad f(xn) tiende f(x), pero este es un valor finito, por lo cual llego a un absurdo. La prueba de que esta acotada inferiormente es analoga a la anterior (en la cual solo se probo la acotacion superior). Para probar que hay un maximo vamos a usar que todo conjunto acotado tiene supremo (s)(axioma 14 de los reales) y veremos que existe un xo talque f(xo)=s. Para eso usamos un teorema que dice que siempre hay una sucesion bn de terminos que tienden al supremo , por lo tanto para esa sucesion yo tengo una sucesion de elementos f(an)=bn, tales que en el limite (an tiende a un xo dentro del intervalo) f(xo)=s. Esto prueba que se alcanza un maximo, para probar que alcanza un minimo se usa la parte no demostrada del teorema anterior y el corolario el axioma 14 que dice lo mismo para conjuntos acotados inferiormente.
Enciclopedia Universal.
2012.
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